Change or stay?

 

很久以前在水木的IQDoor版看到的一个概率游戏。有三个箱子，其中一个里面有东西，另外两个是空的。玩家猜测哪一个箱子有东西。首先让玩家随机选择一个，假定他选择A箱子。然后游戏主持人在剩下B、C两个箱子中打开一个空的，不妨假定主持人打开了空的C箱子。那么现在玩家是应该改变主意选择B，还是坚持选择A？

一种观点认为，C箱证明为空，则A和B的几率各为1/2，改变选择不会增大胜利的概率，仍然选择A。
另一种观点认为，C箱打开之前，A箱子有东西的几率是1/3。打开C箱的过程不影响A箱的概率，所以A箱中标的概率仍为1/3。那么余下的2/3获胜概率就对应在B箱，所以玩家应该改变主意，选择B。

看到这道题的时候，我的直觉反应是第一种观点，A、B两个箱子的概率相当。先别急着往下看，你的想法是怎么样的呢？

　

　

　

　

　

　

　

　

　

随后我用C++模拟了一千万次独立随机实验，结果选择"不改变"和"改变"的获胜次数分别为3,333,983次和6,666,017次。可见这两种策略的获胜概率的确分别为1/3和2/3。

那么问题出在哪里呢？考察实验所用的C++程序，发现关键在于主持人。主持人知道哪个箱子有东西，所以他打开空箱子的过程中实际上隐含了信息。

根据规则，主持人不能打开goal箱子，也不能打开玩家所选的A箱子。那么只能在B、C中选择一个空的打开。
如果goal箱子在B、C中(这一事件的概率是2/3)，假设是B。那么主持人没的选择，只能挑唯一剩下的空箱子C打开。这时候玩家改变主意必然获胜，不改变主意必然告负，因此改变主意和不改变主意获胜的概率分别为 2/3 * 1 和 2/3 * 0 。

如果goal箱子被玩家猜中(这一事件的概率是1/3)，主持人在余下两个空箱子中随便拎一个打开，最后剩下的那个箱子仍然是空的。此时玩家改变主意必然告负，不改变主意必然获胜，因此改变主意和不改变主意获胜的概率分别为 1/3 * 0 和 1/3 * 1 。

把两种情况的概率相加，可知改变主意获胜的概率为2/3，不改变主意获胜的概率为1/3，符合第二种观点。

如果修改游戏规则，让主持人完全独立随机地选择箱子。如果碰巧打开了目标箱子或者玩家所选的箱子，则该轮直接判负。这样，主持人所掌握的信息无法在"打开一个空箱子"的过程中显现出来，于是我们可以安全的说，C箱证明为空不会导致A、B的概率分布不平衡，A和B的几率相等。实验证明，在一百万次独立随机实验中，选择"不改变"和"改变"的获胜次数分别为2,222,076次和2,222,584次，都是2/9的概率。

2/9是怎么得来的呢？根据我们修改的新规则，主持人打开了目标箱子或者玩家所选的箱子就判负，因此判负的概率是 1/3 + 1/3 - (1/3)*(1/3) = 5/9，剩下能赢的概率4/9由两种策略均分，各2/9。

数学, 概率